Après avoir suivi les Cours Florent, Adrien Bourdet intègre le cours d’art dramatique dirigé par Niels Arestrup au Théâtre de l’Oeuvre et complète sa formation à l’école Auvray Noroy. Il fait ses premiers pas au Théâtre en 2009 dans Trilogie de la différence mis en scène par Barbara Nicolier au Théâtre National de la Colline à Paris. De 2012 à 2016, il travaille avec Audrey Bertrand qui le met en scène dans Morts sans sépulture de Jean-Paul Sartre, dans Balle(s) perdue(s) ? de Philippe Gauthier ou encore dans Le médium, opéra écrit par Gian Carlo Menotti. Parallèlement, Adrien Bourdet assiste Pierre-Yves Bon à la mise en scène et joue dans Woyzeck de Georg Büchner et participe au spectacle Fleisch de Pauline Laidet au Théâtre Paris Villette.
En 2017, il joue dans Caligula d’Albert Camus, mis en scène par Romain Picquart au Théâtre National de Toulouse. Il est membre depuis 2015 du collectif La Bande à Léon. Au cinéma, Adrien Bourdet débute dans Les derniers jours d’Elsa, réalisé par Armand Lameloise en 2011. Il apparaît ensuite dans Les garçons et Guillaume à table, réalisé par Guillaume Gallienne, Amour sur place ou à Emporter, réalisé par Amelle Chabi, Neiges d’Automne, réalisé par Hugo Bardin ou dans Peisithanatos, réalisé par Théo Rageunback.